Տանը

1.    Առաջին հարյուր բնական թվերի մեջ. ա) քանի՞ կենտ թիվ կա, բ) 3-ի բազմապատիկ քանի՞ թիվ կա:

ա. 50 բ.33

2.       1-ից մինչև 60 ամբողջ թվերի մեջ քանի՞ պարզ թիվ կա:

 Պատ.՝ 17

3.       Ընդամենը քանի՞ երկնիշ թիվ կա: Քանի՞ եռանիշ թիվ կա:

Կա 90 երկնիշ թիվ և կա 900 եռանիշ թիվ:

4.       Քանի՞ ամբողջ թիվ կա.

ա) սկսած 10-ից մինչև 100-ը, 91թիվ

բ) սկսած k բնական թվից մինչև m բնական թիվը ( k < m) : Կա 140

5.       Քանի՞ ամբողջ թիվ կա` սկսած –10-ից մինչև 10-ը: Կա 21 հատ ամբողջ թիվ:

6.        Սկսած − n -ից մինչև n քանի՞ ամբողջ թիվ կա ( n -ը բնական թիվ է): 2n+1

7.        Ինչի՞ է հավասար −100-ից մինչև 103 բոլոր ամբողջ թվերի գումարը: Հավասար է 306

8.        Ինչի՞ է հավասար −2-ից մինչև 5 բոլոր ամբողջ թվերի արտադրյալը: Հավասար է 0

9.       Ինչի՞ է հավասար 1-ից մինչև 99 բոլոր կենտ թվերի գումարը: Հավասար է 2500

10.    Գտնել արտահայտության արժեքը.

ա) 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + … + 99 - 100=-30

բ)  999 – 997 + 995 – 993 + … + 7 – 5 + 3 – 1=100

11.    Հինգ ամբողջ թվերի արտադրյալը հավասար է 2425: Հնարավո՞ր է, որ այդ թվերի գումարը հավասար լինի 0-ի: Պատ.՝ ոչ

12.    Յոթ ամբողջ թվերի արտադրյալը հավասար է 400-ի: Հնարավո՞ր է, որ այդ թվերի գումարը հավասար լինի 0-ի: Պատ.՝ոչ

13.    Հնարավո՞ր է ընտրել 12 բնական թվեր (ոչ անպայման իրարից տարբեր), որոնց գումարը և արտադրյալը լինեն հավասար: Պատ.՝ ոչ

14.    100 թիվը երկու եղանակով ներկայացնել միմյանց հաջորդող մի քանի բնական թվերի գումարի տեսքով: Պատ.՝ 1.9+10+11+12+13+14+15+16 2.18+19+20+21+22

15.   1000-ը ներկայացնել միմյանց հաջորդող 16 ամբողջ թվերի գումարի տեսքով:

Պատ.՝55+56+...+70=1000

16.     Միևնույն տողում գրված են 1-ից մինչև 70 ամբողջ թվերը: Այդ տողում քանի՞ հատ 5 թվանշան է գրված:

Պատ.՝16

17. Հնարավո՞ր է 1-ից մինչև 18 բնական թվերը տրոհել. ա) երկու, բ) երեք խմբի այնպես, որ նրանցում եղած թվերի գումարները լինեն միմյանց հավասար:

Պատ.՝ ա.ոչ բ.ոչ

18.     Հնարավո՞ր է ընտրել չորս հաջորդական ամբողջ թվեր, որոնց գումարը բաժանվի 4-ի:

Պատ.՝ ոչ x+x+1+x+2+x+3=4x+4+2

19.     100 և 90 թվերը բաժանեցին միևնույն թվի վրա և ստացան, համապատասխանաբար, 4 և 18 մնացորդները: Ո՞ր թվի վրա են բաժանել:

Պատ.՝24

20.     Ես մտապահեցի մի թիվ, նրան ավելացրեցի 5, ստացված թիվը բաժանեցի 5-ի, արդյունքից հանեցի 5 և այն, ինչ ստացվեց, բազմապատկեցի 5-ով: Ստացա 55: Ի՞նչ թիվ էի մտապահել:

Պատ.՝85

21.     Գտնեք այն ամենափոքր բնական թիվը, որը 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 թվերից յուրաքանչյուրի վրա բաժանելիս տալիս է 1 մնացորդ: Պատ.՝ 841

22.     Ո՞րն այն ամենափոքր թիվը, որը 2-ի, 3-ի, 4-ի, 5-ի, 6-ի բաժանելիս տալիս է, համապատասխանաբար, 1, 2, 3, 4, 5 մնացորդներ, իսկ 7-ի բաժանվում է առանց մնացորդի:

Պատ.՝ 119

23.     Եռանիշ թիվը 13-ի բաժանելիս տալիս է 11 մնացորդ, 11-ի բաժանելիս` 9 մնացորդ, իսկ 7-ի բաժանելիս` 5 մնացորդ: Գտեք այդ թիվը:

Պատ.՝ 999

24.     Ընտրեք այն ամենափոքր քառանիշ թիվը, որը 1-ից տարբեր ցանկացած միանիշ թվի բաժանելիս տալիս է 1 մնացորդ:

Պատ.՝2521

25.     Հայրը ցանկանում է 36 խնձորը բաժանել իր հինգ երեխաների միջև: Խնձորների կեսը նա տալիս է որդիներին, որոնք միմյանց միջև այն բաժանում են հավասարապես, իսկ մյուս կեսը տալիս է դուստրերին, որոնք նույնպես բաժա

նում են հավասարապես:

Վերջում պարզվեց, որ յուրաքանչյուր դուստրը ստացել է 3 խնձոր ավելի, քան յուրաքանչյուր որդին: Քանի՞ որդի և քանի՞ դուստր ունի հայրը:

Պատ.՝ 3 տղա, 2 աղջիկ:

26.  Գտեք երկու այնպիսի պարզ թվեր, որոնց տարբերությունը և գումարը նույնպես պարզ թվեր են:

Պատ.՝2, 5

27.   Ապացուցեք, որ ցանկացած բնական n թվի դեպքում 5 n + 5n+ 3 թիվը բաժանվում է 126-ի:

5 n + 5n+ 3=5 n(1+53 )=5 n.126

28.   3100 − 2121  թիվը 10-ի բազմապատի՞կ է: Պատ.՝ այո

29.  Ապացուցեք, որ երեք միատեսակ թվանշաններով գրված եռանիշ թիվը բաժանվում է 37-ի:

Պատ.՝ 100a+10a+a=111a որն էլ բաժանվում է 37-ի:

30.     Եռանիշ թիվը կողք-կողքի գրված է երկու անգամ: Ապացուցեք, որ ստացված վեցանիշ թիվը բաժանվում է և′ 13-ի, և′ 11-ի, և′ 7-ի: Պատ,՝ 111111a բաժանվում է 13,11,7

31.   1-ից մինչև 12 բոլոր բնական թվերը գրված են կողք-կողքի (աճման կարգով): Ապացուցեք, որ ստացված բազմանիշ թիվը բա-ժանվում է 12-ի: Պատ.՝ 123456789101112 բաժանվում է 4 և 3-ի ուրեմն 12-ի կբաժանվի:


32.   Բնական թիվը 2-ի բաժանելիս տալիս է 1 մնացորդ, իսկ 3-ի բաժանելիս` 2 մնացորդ: Ի՞նչ մնացորդ կստացվի`այդ թիվը 6-ի բաժանելիս: Պատ.՝5

33.     Գտնել բոլոր այն բնական թվերը, որոնցից յուրաքանչյուրը 8-ի բաժանելիս քանորդում ստացվում է նույն թիվը, ինչ` մնացորդում: Պատ. ՝ 8n+n n=1...

34.   Գտնել այն ամենափոքր բնական թիվը, որը կարելի է ներկայացնել ինչպես հինգ, այնպես էլ ութ հաջորդական բնական թվերի գումարի տեսքով: Պատ.՝ 60

35.   Բերեք քառանիշ թվի օրինակ, որն ունենա ճիշտ հինգ բնական բաժանարար: Քանի՞ այդպիսի քառանիշ թիվ կա: Պատ.՝ ?

36.  Գտեք 111 ... 11 (100 հատ 1-երով) թիվը 9-ի բաժանելիս ստացվող մնացորդը:

Պատ.՝ 1

37. Ապացուցեք, որ ցանկացած բնական n թվի համար կարելի է ընտրել այնպիսի բնական x թիվ, որ ( nx + 1) -ը լինի բաղադրյալ: Պատ.՝ օր՝ (45+1)

38.     Ապացուցեք, որ ցանկացած եռանիշ թվի և այդ թվի թվանշաններն արտահայտող թվերի գումարը բաժանվում է 9-ի:

39.     Ապացուցեք, որ.

ա) abba թիվը բաժանվում է 11-ի, բ) aaabbb թիվը բաժանվում է 37-ի, գ) ababab թիվը բաժանվում է 7-ի,

դ) abab – baba թիվը բաժանվում է 909-ի:

Պատ.՝ ա. 1001a+110b=11*(91a+10b) բ.111000a+111b=111*(1000a+b), գ.101010a+10101b=10101*(10a+b) , դ 909a-909b=909*(a-b)

40.     Միայն պարզ թվերն ունեն ճիշտ երկու բաժանարար` 1-ը և այդ թիվը: Իսկ ո՞ր թվերն ունեն ճիշտ երեք բաժանարար: Նշել այդպիսի բոլոր թվերը:

Պատ.՝ 4,9 և այլն

41.  Ապացուցեք, որ ցանկացած k > 1 բնական թվի դեպքում k4 + 4 թիվը բաղադրյալ է:

Պատ.՝ k⁴ + 4= k⁴ + 4k²-4k²+2²=(k+2)²-4k²=(k²+2-2k)*(k²+2+2k)

42.     Երկնիշ թվին գումարել են նույն թվանշաններով, բայց հակա-ռակ կարգով գրված թիվը. ստացել են ամբողջ թվի քառակուսի: Գտեք այդ հատկությամբ օժտված բոլոր երկնիշ թվերը:

Պատ.՝29,38,47,56,65,74,83,92

43.     Եթե երկնիշ թվի թվանշանների միջև գրվի այդ նույն երկնիշ թիվը, ապա ստացված քառանիշ

թիվը 77 անգամ մեծ կլինի սկզբնական թվից: Գտնել այդ երկնիշ թիվը: Պատ.՝15

44.     Բնական թվի մեջ տեղափոխեցին թվանշանները և ստացան սկզբնականից 3 անգամ մեծ թիվ:

Ապացուցեք, որ ստացված թիվը բաժանվում է 27-ի:

45.    Եթե մի որոշ երկնիշ թվի թվանշանների միջև գրվի 0, ապա ստացված եռանիշ թիվը 9 անգամ

մեծ կլինի սկզբնականից: Գտեք այդ երկնիշ թիվը: Պատ.՝45